Funcion Cuadratica

Función cuadrática

En matemáticas, una función cuadrática de una variable es una función polinómica definida por:

y = a x 2 + b x + c {\displaystyle y=ax^{2}+bx+c\,}

con a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} .También se da el caso que se le llame Trinomio cuadrático. También se denomina función cuadrática a funciones definidas por polinomios cuadráticos de más de una variable, por ejemplo:

f ( x , y ) = A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F {\displaystyle f(x,y)=Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F}

En este caso el conjunto de puntos que resultan al igualar el polinomio a cero representan lugares geométricos que siempre es posible reducir a una de las formas:

( x a ) 2 ± ( y b ) 2 = c 2 , ( x a ) 2 ± y b = c {\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}\pm \left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=c^{2},\qquad \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}\pm {\frac {y}{b}}=c}

Que corresponden a tres tipos de secciones cónicas (elipse, hipérbola y parábola).

Funciones cuadráticas de una variable

Las gráficas de estas funciones corresponden a parábolas verticales (eje de simetría paralelo al eje de las ordenadas), con la particularidad de que cuando a>0, el vértice de la parábola se encuentra en la parte inferior de la misma, siendo un mínimo (es decir, la parábola se abre "hacia arriba"), y cuando a<0 el vértice se encuentra en la parte superior, siendo un máximo (es decir, la parábola se abre "hacia abajo").

El estudio de las funciones cuadráticas tiene numerosas aplicaciones en campos muy diversos, por ejemplo la caída libre o el tiro parabólico.

La función derivada de una función cuadrática es una función lineal y su integral indefinida es una familia de funciones cúbicas.

Raíces

Véase también: Ecuación de segundo grado

Las raíces (o ceros) de una función cuadrática, como en toda función, son los valores de x, para los cuales a x 2 + b x + c = 0   {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\ } . Son denotadas habitualmente como: x 1 {\displaystyle x_{1}} y x 2 {\displaystyle x_{2}} , dependiendo del valor del discriminante Δ definido como Δ = b 2 − 4 a c   {\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac\ } .

• Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo, Δ > 0 {\displaystyle \Delta >0} :

x 1 = − b + Δ 2 a {\displaystyle x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}}

x 2 = − b − Δ 2 a {\displaystyle x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}}

·         Corta la parábola al eje X en dos puntos diferentes.

• Una solución real(o solución doble) si el discriminante es cero, Δ = 0 {\displaystyle \Delta =0} :

x 1 = x 2 = − b 2 a {\displaystyle x_{1}=x_{2}=-{\frac {b}{2a}}}

·         La parábola es tangente al eje X.

·         La parábola no corta al eje X.

• El único caso restante es que el discriminante sea negativo, Δ < 0 {\displaystyle \Delta <0} .